پایان نامتناهی؛ چرا برخی ریاضی‌دانان با مفهوم بی‌نهایت مخالف هستند؟

بی‌نهایت مفهومی کلیدی در ریاضیات مدرن به‌شمار می‌رود، با این حال برخی ریاضی‌دانان هنوز آن را باور ندارند.

کد خبر: ۹۱۴۴۵۰

تاریخ: ۲۹ اسفند ۱۴۰۴ - ۱۰:۲۶

زومیت: بی‌نهایت مفهومی کلیدی در ریاضیات مدرن به‌شمار می‌رود، با این حال برخی ریاضی‌دانان هنوز آن را باور ندارند.

یکی از پرسش‌هایی که هزاران سال ذهن انسان را به خود مشغول کرده، این است که آیا بی‌نهایت واقعاً وجود دارد؟ بیش از ۲۳۰۰ سال پیش، ارسطو بین دو نوع بی‌نهایت تمایز قائل شد: بی‌نهایت بالقوه و بی‌نهایت بالفعل. نوع نخست به موقعیت‌هایی ذهنی مربوط می‌شود که از تکرار یک فرآیند حاصل می‌شوند. برای مثال، اگر از شما خواسته شود تا ابد بشمارید و هر بار یک واحد به عدد قبلی بیفزایید، این یک بی‌نهایت بالقوه است. اما بنا به باور ارسطو، بی‌نهایت‌های بالفعل نمی‌توانند در جهان واقعی وجود داشته باشند.

تا اواخر قرن نوزدهم، بیشتر ریاضی‌دانان از مفهوم بی‌نهایت اجتناب می‌کردند، چرا که نمی‌دانستند چگونه باید با این مقادیر عجیب و غریب کار کنند. مثلاً حاصل جمع بی‌نهایت با یک یا حاصل ضرب دو بی‌نهایت چیست؟ اما گئورگ کانتور، ریاضی‌دان آلمانی، با ارائه نظریه‌ی مجموعه‌ها به این تردیدها پایان داد.

کانتور نخستین نظریه‌ی ریاضی را پایه‌گذاری کرد که امکان پرداختن به مقادیر نامتناهی را فراهم می‌کرد. از آن زمان، بی‌نهایت‌ها بخشی جدایی‌ناپذیر از ریاضیات شدند. در مدارس با مجموعه‌های اعداد طبیعی یا حقیقی آشنا می‌شویم که همگی بی‌نهایت عضو دارند، و همچنین با اعداد گنگ مانند عدد پی (π) یا جذر ۲ که دارای تعداد نامتناهی رقم اعشارند.

با‌این‌حال، هنوز هم برخی افراد موسوم به متناهی‌گرایان (Finitists) وجود بی‌نهایت را رد می‌کنند. آن‌ها استدلال می‌کنند از آنجایی که همه چیز در جهان ما (ازجمله منابع برای انجام محاسبات) محدودیت دارد، استفاده از بی‌نهایت در محاسبات بی‌معنا است. حتی برخی از متخصصان، شاخه‌ای جایگزین از ریاضیات را پیشنهاد داده‌اند که تنها بر مقادیر قابل ساخت در چارچوب محدود متکی است. اکنون برخی پژوهشگران تلاش می‌کنند این ایده‌ها را در فیزیک نیز به‌کار گیرند، به این امید که نظریه‌هایی بهتر برای توصیف جهان ما پیدا کنند.

نظریه مجموعه‌ها و مفهوم بی‌نهایت

ریاضیات مدرن بر پایه‌ی نظریه‌ی مجموعه‌ها بنا شده است. همان‌طور که از نام آن پیداست، این نظریه با گروه‌بندی‌هایی موسوم به «مجموعه» سروکار دارد. شما می‌توانید مجموعه را مانند کیسه‌ای درنظر بگیرید که در آن می‌توان انواع مختلفی از اشیاء (مانند اعداد، توابع یا موجودیت‌های دیگر) را قرار داد. با مقایسه محتوای دو کیسه، می‌توان بزرگی (تعداد اعضا) آن‌ها را سنجید. اگر بخواهیم بدانیم کدام کیسه بزرگ‌تر است، می‌توانیم هم‌زمان از هر کدام یک شیء خارج کنیم و ببینیم کدام زودتر خالی می‌شود.

در آغاز قرن بیستم، ریاضی‌دانانی به نام‌های ارنست تسرملو و آبراهام فرانکل نظریه مجموعه‌ها را به عنوان پایه‌ای برای کل ریاضیات مطرح کردند. پیش از آن، شاخه‌هایی مانند هندسه، تحلیل، جبر و احتمال‌ در بسیاری از موارد از یکدیگر جدا بودند. تسرملو و فرانکل مجموعه‌ای از ۹ اصل بنیادی موسوم به اکسیوم‌ها (اصل موضوع) را تدوین کردند که امروزه اساس ریاضیات را تشکیل می‌دهند.

یکی از این اصول، وجود مجموعه تهی است، یعنی فرض می‌شود مجموعه‌ای وجود دارد که مانند کیسه‌ی خالی هیچ عنصری ندارد. کسی با این ایده مخالفتی ندارد. اما یکی دیگر از این اصول، وجود مجموعه‌های بی‌نهایت را تضمین می‌کند و اینجاست که متناهی‌گرایان مخالفت می‌کنند. آن‌ها خواهان ساختن ریاضیات بدون این اصل‌اند؛ یعنی ریاضیاتِ متناهی.

رؤیای ریاضیات متناهی

متناهی‌گرایان بی‌نهایت را نه تنها به دلیل محدودیت منابع جهان واقعی رد می‌کنند، بلکه به‌دلیل نتایج غیرقابل‌پذیرشی نیز که از نظریه مجموعه‌ها حاصل می‌شود، با آن مخالف‌اند. برای مثال، طبق پارادوکس باناخ–تارسکی، می‌توان یک کره را به بخش‌هایی تقسیم کرد و سپس از نو آن‌ها را طوری بازچینی کرد که دو کره‌ی هم‌اندازه با کره‌ی اولیه به‌دست آید! از دید ریاضی این مسئله ممکن است، اما در دنیای واقعی امکان‌پذیر نیست.

مفهوم وصف‌شده شاید پیچیده به نظر نرسد و حتی کودکان نیز آن را درک می‌کنند. اما کانتور متوجه شد که می‌توان همین شیوه را برای مقادیر بی‌نهایت نیز به‌کار برد. او با استفاده از نظریه‌ی مجموعه‌ها نتیجه گرفت که بی‌نهایت‌ها می‌توانند اندازه‌های مختلفی داشته باشند؛ بی‌نهایت همیشه با بی‌نهایت برابر نیست و برخی از بی‌نهایت‌ها بزرگ‌تر از برخی دیگرند.

متناهی‌گرایان می‌گویند: اگر این اصول به چنین نتایجی منجر می‌شوند، پس اشتباهی در آن‌ها وجود دارد. از آنجا که بیشتر این اصول بدیهی به‌نظر می‌رسند، تنها اصلی که از نظر آن‌ها با عقل سلیم در تضاد است، اصل مربوط به وجود مجموعه‌های نامتناهی است.

دیدگاه آن‌ها این‌گونه خلاصه می‌شود: «یک شیء ریاضی تنها در صورتی وجود دارد که بتوان آن را با تعداد متناهی گام از اعداد طبیعی ساخت.» بر همین اساس، حتی اعداد گنگ مانند جذر ۲ (که با فرمول‌های مشخصی به‌دست می‌آیند) نیز قابل پذیرش نیستند، چرا که شامل مجموع‌های بی‌نهایت‌اند و بنابراین در ریاضیات متناهی جای نمی‌گیرند.

در نتیجه، برخی اصول منطقی مانند اصل طرد شق ثالث ارسطویی که می‌گوید هر گزاره‌ی ریاضی یا درست است یا نادرست نیز دیگر کاربرد ندارند. در متناهی‌گرایی، یک گزاره ممکن است در لحظه‌ای معین «نا‌مشخص» باشد، مثلاً اگر هنوز مقدار عددی آن تعیین نشده باشد. به‌عنوان نمونه، در مورد عدد ۰٫۹۹۹... اگر کل دوره‌ی تکرار را تا بی‌نهایت ادامه دهیم، حاصل برابر ۱ می‌شود. اما اگر بی‌نهایتی در کار نباشد، این برابر بودن دیگر پذیرفتنی نیست.

جهانی بر اساس ریاضیات متناهی؟

بدون اصل طرد شق ثالث، اثبات بسیاری از قضایای ریاضی دچار مشکل می‌شود، چرا که بخش زیادی از آن‌ها به این اصل متکی‌اند. بنابراین جای تعجب نیست که تنها شمار اندکی از ریاضی‌دانان خود را وقف متناهی‌گرایی کرده‌اند. رد بی‌نهایت، ریاضیات را پیچیده‌تر می‌کند.

بااین‌حال، برخی فیزیک‌دانان از جمله نیکولا ژیزن از دانشگاه ژنو به این فلسفه گرایش دارند. او امیدوار است دنیای اعداد متناهی بتواند توصیفی بهتر از جهان ما ارائه دهد. او فرض را بر این می‌گذارد که فضا و زمان تنها می‌توانند حاوی مقدار محدودی از اطلاعات باشند. بنابراین، انجام محاسبات با اعداد بی‌نهایت بزرگ یا طولانی بی‌معناست؛ چرا که در جهان جایی برای آن‌ها وجود ندارد.

گرچه مسیر متناهی‌گرایی هنوز در مراحل ابتدایی است، جذابیت زیادی دارد. به‌ویژه از آن جهت که به‌نظر می‌رسد فیزیک مدرن در برخی مسائل اساسی مانند منشأ جهان یا نحوه‌ی تعامل نیروهای بنیادی به بن‌بست رسیده است. شاید آغاز از نقطه‌ای متفاوت در ریاضیات بتواند افقی تازه بگشاید. افزون بر این، جذابیت زیادی در این پرسش نهفته است که اگر برخی مفروضات اساسی را تغییر دهیم، ریاضیات تا کجا می‌تواند پیش برود؟ شاید شگفتی‌هایی در قلمرو متناهی ریاضیات نهفته باشد.

در نهایت، همه‌چیز به یک پرسش بنیادین برمی‌گردد: آیا به بی‌نهایت باور دارید یا نه؟ و پاسخش را هر کس باید خود بیابد.