کمتر از یک هفته پس از ابطال مسئله‌ی هشتادساله اردوش به کمک هوش مصنوعی، ریاضیدانان با الهام از همان روش، حدس جمع و حاصل‌ضرب را نیز نقض کردند.

 

کمتر از یک هفته پس از آنکه یک مدل هوش مصنوعی منتشرنشده از اوپن‌ای‌آی (OpenAI) فرضیه‌ای هشتادساله را نقض کرد و جامعه‌ی ریاضی را به شگفتی واداشت، مسئله‌ی دیگری که نیم‌قرن دست‌نخورده مانده بود نیز زیر سوال رفت؛ این بار توسط پژوهشگرانی که از همان تکنیک هوش مصنوعی الهام گرفته بودند.

 

هفته‌ی پیش، مدل هوش مصنوعی اوپن‌ای‌آی فرضیه‌ی «مسئله‌ی فاصله‌ی واحد» را که پال اِردوش، ریاضیدان مجاری، مطرح کرده بود، باطل کرد؛ معضلی که اردوش از آن به عنوان «برجسته‌ترین مشارکت خود در هندسه» یاد می‌کرد و بسیاری از ریاضیدانان سال‌ها در حل آن ناکام مانده بودند. این مسئله درباره‌ی بیشترین تعداد اتصالات هم‌اندازه‌ای است که می‌توان میان نقاطی روی یک سطح مسطح برقرار کرد.

 

اردوش سقفی عددی برای این تعداد پیشنهاد داده بود که اغلب متخصصان آن را درست می‌پنداشتند. اما مدل هوش مصنوعی اوپن‌ای‌آی نشان داد این عدد می‌تواند بسیار بزرگ‌تر باشد. ابزار به‌کاررفته یک شگرد کمتر شناخته‌شده از نظریه‌ی اعداد جبری بود که ساختارهای پیچیده‌ای در ابعاد بسیار بالا می‌سازد و چیدمانی از نقاط به دست می‌دهد که به‌کل متفاوت با آن چیزی است که انسان‌ها در نظر گرفته بودند. نتیجه برای بسیاری از ریاضیدانان غافلگیرکننده بود؛ عده‌ای حتی انتظار نداشتند در طول عمرشان شاهد ابطال فرضیه‌ای از اردوش باشند.

 

به‌گزارش نیوساینتیست، اکنون کمتر از یک هفته بعد، توماس بلوم از دانشگاه منچستر و همکارانش با استدلالی مشابه، فرضیه‌ی مشهور دیگری از اردوش را باطل کرده‌اند که در سال ۱۹۷۶ مطرح کرده بود: حدس جمع و حاصل‌ضرب.

 

بلوم می‌گوید: «غافلگیرکننده بود، چون روی این مسئله زیاد فکر کرده بودم.» پس از آنکه اوپن‌ای‌آی با تکیه بر نظریه اعداد یک مسئله هندسی را حل کرد، بلوم و همکارانش تصمیم گرفتند همان رویکرد را برای بررسی حدس جمع و حاصل‌ضرب به کار گیرند. او می‌افزاید: «وقتی بدانی شاید چیزی ممکن باشد، برای تلاش سخت‌تر هم آماده‌ای تا واقعاً به نتیجه برسی.»

 

حدس جمع و حاصل‌ضرب اردوش درباره‌ی مجموعه‌های اعداد است. این حدس می‌گوید اگر تمام اعداد یک مجموعه را به‌صورت دوتایی با هم جمع کنید و مجموعه‌ای جدید از نتایج به‌دست آورید، و همچنین تمام آن‌ها را به‌صورت دوتایی در هم ضرب کنید و مجموعه‌ای دیگر بسازید، دست‌کم یکی از این دو مجموعه باید بسیار بزرگ‌تر از مجموعه اولیه باشد؛ یعنی امکان ندارد هر دو مجموعه به‌طور هم‌زمان اندازه‌ای نسبتاً کوچک داشته باشند.

 

به عنوان مثال، اگر اعداد ۱ تا ۵ را در نظر بگیرید، مجموعه حاصل از ضرب‌های دوتایی بزرگ‌تر از مجموعه حاصل از جمع‌های دوتایی خواهد بود؛ زیرا در حالت جمع نتایج تکراری به‌وجود می‌آیند؛ مثلاً ۲+۳ و ۱+۴ هر دو برابر ۵ هستند. اما اگر مجموعه‌ای مانند ۱، ۲، ۴، ۸ و ۱۶ را در نظر بگیریم، این بار مجموعه حاصل از جمع‌ها بزرگ‌تر خواهد بود، زیرا مجموعه حاصل از ضرب‌ها فقط شامل توان‌های مختلف عدد ۲ می‌شود.

 

اردوش حدس زده بود که برای هر مجموعه اعداد، نمی‌توان هم تعداد جمع‌های متمایز و هم تعداد ضرب‌های متمایز را به‌طور هم‌زمان خیلی کم نگه داشت. به بیان دیگر، دست‌کم یکی از این دو مجموعه باید از حد مشخصی بزرگ‌تر باشد. اما بلوم و همکارانش با استفاده از همان ترفند فضاهای چندبعدی، مجموعه‌ای پیدا کردند که هم مجموعه حاصل از جمع‌های آن و هم مجموعه حاصل از ضرب‌هایش، از چیزی که اردوش ممکن می‌دانست کوچک‌تر بودند. آن‌ها نشان دادند که به‌جای استفاده از یک تصاعد هندسی ساده مانند توان‌های عدد ۲، می‌توان تصاعدی از اعداد را به‌طور هم‌زمان در ابعاد گوناگون ساخت؛ روشی که مجموعه‌ای ایجاد می‌کند که تعداد جمع‌های متمایز قابل تولید از آن بسیار کمتر است.

 

بلوم می‌گوید: «چیزی که واقعاً مرا شگفت‌زده کرد، سادگی این روش بود. ساختار آن به‌قدری ساده است که می‌توان به‌آسانی توضیحش داد و اکنون واقعاً می‌فهمیم چرا [حدس اردوش] شکست می‌خورد؛ موضوعی که احتمالاً در حل بسیاری از مسائل مرتبط دیگر نیز کمک خواهد کرد.»

 

میشا رودنف از دانشگاه بریستول می‌گوید: «این اتفاق نمونه‌ای معمول از ریاضیات به‌عنوان یک رقابت فکری است. به‌محض این‌که ایده‌ای جدید مطرح می‌شود، عده‌ای حاضرند شبانه‌روز روی آن کار کنند تا کاربردهای بیشتری برایش پیدا کنند و معمولاً این افراد بسیار توانمند و سریع هستند.»

 

رودنف می‌گوید شهود اولیه اردوش این بود که این حدس عمدتاً باید برای اعداد صحیح برقرار باشد و هنوز هم به نظر می‌رسد چنین باشد؛ زیرا مجموعه‌ای که بلوم و همکارانش پیدا کردند از دستگاه‌های عددی نامتعارفی استفاده می‌کند که هرچه اندازه مجموعه‌ها بزرگ‌تر می‌شود، پیچیده‌تر نیز می‌شوند. بلوم هم موافق است که این حدس همچنان برای اعداد صحیح برقرار است و می‌گوید: «هنوز حجم عظیمی از کار باقی مانده است؛ ما واقعاً نمی‌دانیم دقیقاً چه اتفاقی در حال رخ دادن است.»

 

بلوم می‌گوید مهم‌ترین نتیجه این اثبات آن است که مسائلی که در نگاه اول ماهیتی هندسی دارند، مانند مجموعه‌هایی متشکل از توان‌های دوم عدد ۲، در واقع می‌توانند با ابزارهای نظریه اعداد بررسی شوند. او می‌گوید: «این موضوع درهای این مسائل را به روی جامعه‌ای کاملاً جدید از پژوهشگران باز می‌کند. پژوهشگران نظریه اعداد جبری پیش‌تر چندان درگیر این پرسش‌ها نبودند.»

 

یافته‌های تیم در پایگاه آرکایو در دسترس است.

 

منبع: زومیت